Решение:
1. Найдем производную функции f(x):
f'(x) = -3x² + 30x — 51.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
-3x² + 30x — 51 = 0.
3. Упростим уравнение, разделив на -3:
x² — 10x + 17 = 0.
4. Найдем дискриминант:
D = b² — 4ac = (-10)² — 4*1*17 = 100 — 68 = 32.
5. Найдем корни уравнения с помощью формулы:
x = (10 ± √32) / 2 = (10 ± 4√2) / 2 = 5 ± 2√2.
6. Теперь найдем значения функции в критических точках:
f(5 + 2√2) и f(5 — 2√2).
7. Подставим x = 5 + 2√2 в f(x):
f(5 + 2√2) = — (5 + 2√2)³ + 15(5 + 2√2)² — 51(5 + 2√2).
8. Подставим x = 5 — 2√2 в f(x):
f(5 — 2√2) = — (5 — 2√2)³ + 15(5 — 2√2)² — 51(5 — 2√2).
9. Найдем значения f(5 + 2√2) и f(5 — 2√2) для определения максимума и минимума.
10. Проанализируем полученные значения для нахождения максимума и минимума функции f(x).