Решение:
1. Обозначим основание пирамиды как квадрат со стороной a. Двугранный угол при основании равен 60 градусам, что означает, что угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30 градусам (половина двугранного угла).
2. Апофема (l) пирамиды равна 4 см. Используем треугольник, образованный высотой (h), половиной стороны основания (a/2) и апофемой (l).
3. В этом треугольнике:
— sin(30°) = (a/2) / l
— cos(30°) = h / l
4. Из sin(30°) = 1/2:
(a/2) / 4 = 1/2
a/2 = 2
a = 4 см.
5. Из cos(30°) = √3/2:
h / 4 = √3/2
h = 4 * √3 / 2 = 2√3 см.
6. Объем V правильной пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S * h, где S — площадь основания.
7. Площадь основания S = a^2 = 4^2 = 16 см².
8. Подставляем значения в формулу для объема:
V = (1/3) * 16 * 2√3 = (32/3)√3 см³.
Ответ: Объем пирамиды равен (32/3)√3 см³.