Решение:
1. Обозначим основание пирамиды как квадрат со стороной a. Радиус описанной окружности R равен 4 см, что соответствует формуле R = a / sqrt(2). Отсюда находим сторону квадрата: a = R * sqrt(2) = 4 * sqrt(2) см.
2. Найдем площадь основания S: S = a^2 = (4 * sqrt(2))^2 = 32 см^2.
3. Боковые грани наклонены под углом 45 градусов. Это означает, что высота боковой грани h_b равна длине отрезка от вершины пирамиды до центра основания, так как угол наклона 45 градусов.
4. Найдем высоту пирамиды h. Для этого используем треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковой гранью. В этом треугольнике высота h и радиус R образуют прямоугольный треугольник с углом 45 градусов. Таким образом, h = R = 4 см.
5. Теперь можем найти объем V пирамиды по формуле: V = (1/3) * S * h = (1/3) * 32 * 4 = 42.67 см^3.
Ответ: Объем пирамиды равен 42.67 см^3.