Решение:
1. Из условия задачи известно, что ABCD — параллелограмм, угол C равен 45 градусам, сторона BC равна 31, и биссектрисa BD равна AB.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AB = CD и AD = BC. Поскольку BC = 31, то AD также равно 31.
3. Угол C равен 45 градусам, следовательно, угол D также равен 45 градусам, так как в параллелограмме противоположные углы равны.
4. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол A равен 180 — (угол C + угол D) = 180 — (45 + 45) = 90 градусов. Таким образом, треугольник ABD является прямоугольным.
5. В прямоугольном треугольнике ABD по свойству биссектрисы, которая делит угол A пополам, мы можем сказать, что угол ABD равен 45 градусам, а угол ADB также равен 45 градусам.
6. Поскольку треугольник ABD является равнобедренным (углы ABD и ADB равны), то стороны AB и AD равны. Таким образом, AB = AD = 31.
7. Теперь мы можем найти длину стороны AB. Поскольку AB = AD и AD = 31, то AB также равно 31.
8. В итоге, мы нашли, что длина стороны AB равна 31.
Ответ: Длина стороны AB равна 31.