Решение:
1. Начнем с неравенства: 3^(x^2 — x) ≤ (5^(x — 1))^x.
2. Упростим правую часть: (5^(x — 1))^x = 5^((x — 1)x) = 5^(x^2 — x).
3. Теперь неравенство выглядит так: 3^(x^2 — x) ≤ 5^(x^2 — x).
4. Поскольку обе стороны неравенства являются положительными для всех x, мы можем взять логарифм по основанию 3 (или 5) с обеих сторон. Для удобства возьмем логарифм по основанию 3:
log_3(3^(x^2 — x)) ≤ log_3(5^(x^2 — x)).
5. Упрощаем неравенство: x^2 — x ≤ log_3(5) * (x^2 — x).
6. Переносим все в одну сторону: x^2 — x — log_3(5) * (x^2 — x) ≤ 0.
7. Вынесем (x^2 — x) за скобки: (x^2 — x)(1 — log_3(5)) ≤ 0.
8. Теперь у нас есть два множителя: (x^2 — x) и (1 — log_3(5)).
9. Найдем значение log_3(5). Поскольку 5 > 3, log_3(5) > 1. Обозначим log_3(5) как k, где k > 1.
10. Теперь неравенство можно записать как (x^2 — x)(1 — k) ≤ 0. Поскольку 1 — k < 0, мы можем умножить обе стороны на -1, меняя знак неравенства: (x^2 - x) ≥ 0. 11. Решим неравенство x^2 - x ≥ 0. Вынесем x за скобки: x(x - 1) ≥ 0. 12. Найдем корни: x = 0 и x = 1. 13. Теперь определим знаки произведения x(x - 1). - Для x < 0: произведение отрицательное. - Для 0 ≤ x < 1: произведение положительное. - Для x > 1: произведение положительное.
14. Таким образом, неравенство выполняется для x ≤ 0 и x ≥ 1.
15. Ответ: x ≤ 0 или x ≥ 1.