Решение:
1. Начнем с уравнения: sin²(x) + 4sin(x) + 3 > 0. Обозначим sin(x) как t. Тогда неравенство можно переписать как: t² + 4t + 3 > 0.
2. Теперь решим квадратное неравенство t² + 4t + 3 > 0. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения t² + 4t + 3 = 0.
3. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: t = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = 3.
4. Подставляем значения:
D = b² — 4ac = 4² — 4 * 1 * 3 = 16 — 12 = 4.
5. Теперь находим корни:
t1 = (-4 + √4) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -2,
t2 = (-4 — √4) / 2 = (-4 — 2) / 2 = -3.
6. Таким образом, корни уравнения t² + 4t + 3 = 0: t1 = -2 и t2 = -3.
7. Теперь определим знаки выражения t² + 4t + 3. Поскольку это парабола, открытая вверх (коэффициент при t² положительный), она будет больше нуля вне интервала между корнями.
8. Интервал, где t² + 4t + 3 < 0, это (-3, -2). Следовательно, t² + 4t + 3 > 0 на интервалах: (-∞, -3) и (-2, +∞).
9. Теперь вернемся к переменной sin(x). Мы знаем, что t = sin(x). Таким образом, мы ищем значения x, при которых sin(x) < -3 или sin(x) > -2.
10. Поскольку синус принимает значения только в диапазоне от -1 до 1, то условие sin(x) < -3 не имеет решений. 11. Условие sin(x) > -2 всегда выполняется, так как -2 меньше минимального значения синуса.
12. Таким образом, неравенство sin²(x) + 4sin(x) + 3 > 0 выполняется для всех x.
Ответ: Все x.