Решение:
1. Запишем данное уравнение: x» + 2x’ + 4 = 0.
2. Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения найдем характеристическое уравнение.
3. Характеристическое уравнение имеет вид: r^2 + 2r + 4 = 0.
4. Найдем дискриминант D характеристического уравнения:
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 * 1 * 4 = 4 — 16 = -12.
5. Дискриминант отрицательный, значит, у уравнения есть два комплексных корня. Найдем корни:
r1,2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-2 ± sqrt(-12)) / 2 = (-2 ± 2i * sqrt(3)) / 2 = -1 ± i * sqrt(3).
6. Корни r1 = -1 + i * sqrt(3) и r2 = -1 — i * sqrt(3).
7. Общее решение уравнения имеет вид:
x(t) = e^(αt) * (C1 * cos(βt) + C2 * sin(βt)),
где α = -1, β = sqrt(3), C1 и C2 — произвольные константы.
8. Подставим значения α и β в общее решение:
x(t) = e^(-t) * (C1 * cos(sqrt(3)t) + C2 * sin(sqrt(3)t)).
9. Таким образом, общее решение уравнения x» + 2x’ + 4 = 0:
x(t) = e^(-t) * (C1 * cos(sqrt(3)t) + C2 * sin(sqrt(3)t)), где C1 и C2 — произвольные константы.