Решение:
1. Начнем с уравнения: x sin y + y sin x = 0.
2. Перепишем уравнение так, чтобы выделить одну из переменных. Например, выразим y sin x через x sin y:
y sin x = -x sin y.
3. Теперь рассмотрим два случая:
a) sin x = 0
b) sin x ≠ 0.
4. Рассмотрим случай a) sin x = 0. Это происходит, когда x = n * pi, где n — целое число. Подставим это значение в уравнение:
n * pi * sin y = 0.
Это уравнение выполняется, если sin y = 0, что дает y = m * pi, где m — целое число.
5. Таким образом, в случае a) мы получили решение: (x, y) = (n * pi, m * pi), где n и m — целые числа.
6. Теперь рассмотрим случай b) sin x ≠ 0. В этом случае мы можем разделить обе стороны уравнения на sin x (так как оно не равно нулю):
y = — (x sin y) / sin x.
7. Это уравнение не имеет простого аналитического решения, но мы можем исследовать его численно или графически для нахождения решений.
8. В общем, мы можем сказать, что у нас есть бесконечное количество решений в виде (n * pi, m * pi) для целых n и m, а также дополнительные решения, которые могут быть найдены численно для sin x ≠ 0.
9. В заключение, основное множество решений уравнения x sin y + y sin x = 0:
(x, y) = (n * pi, m * pi), где n и m — целые числа.