По линии связи передается кодированный с помощью букв А, В, С текстом. Вероятность передачи букв таковы: Р(А)=0,5; Р(В)=0,3; Р(С)=0,2. Вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно: 0,01, 0,03, 0,02. Установлено, что сигнал из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятность того, что подавало сигнал АВ?

Решение:

1. Обозначим события:
— A: сигнал был А
— B: сигнал был В
— C: сигнал был С
— D: сигнал принят без искажений

2. Нам известны вероятности передачи букв:
— P(A) = 0,5
— P(B) = 0,3
— P(C) = 0,2

3. Вероятности искажения:
— P(искажение A) = 0,01, значит P(без искажения A) = 1 — 0,01 = 0,99
— P(искажение B) = 0,03, значит P(без искажения B) = 1 — 0,03 = 0,97
— P(искажение C) = 0,02, значит P(без искажения C) = 1 — 0,02 = 0,98

4. Теперь найдем вероятность того, что сигнал был АВ и принят без искажений. Для этого нужно учитывать, что сигнал может быть принят без искажений, если:
— Принят А и В без искажений
— Принят В и А без искажений

5. Рассчитаем вероятность принятия сигнала АВ без искажений:
P(D | A, B) = P(без искажения A) * P(без искажения B) = 0,99 * 0,97 = 0,9603

6. Теперь найдем полную вероятность принятия сигнала без искажений D. Сигнал может быть:
— АВ
— АС
— БА
— БС
— СА
— СВ

Для каждого случая рассчитаем вероятность принятия без искажений:
— P(D | A, B) = 0,9603 (как уже рассчитано)
— P(D | A, C) = P(без искажения A) * P(без искажения C) = 0,99 * 0,98 = 0,9702
— P(D | B, A) = P(без искажения B) * P(без искажения A) = 0,97 * 0,99 = 0,9603 (так же, как и для АВ)
— P(D | B, C) = P(без искажения B) * P(без искажения C) = 0,97 * 0,98 = 0,9506
— P(D | C, A) = P(без искажения C) * P(без искажения A) = 0,98 * 0,99 = 0,9702
— P(D | C, B) = P(без искажения C) * P(без искажения B) = 0,98 * 0,97 = 0,9506

7. Теперь найдем полную вероятность D:
P(D) = P(A) * P(D | A, B) + P(B) * P(D | B, A) + P(A) * P(D | A, C) + P(C) * P(D | C, A) + P(B) * P(D | B, C) + P(C) * P(D | C, B)

Подставляем значения:
P(D) = 0,5 * 0,9603 + 0,3 * 0,9603 + 0,5 * 0,9702 + 0,2 * 0,9702 + 0,3 * 0,9506 + 0,2 * 0,9506

P(D) = 0,48015 + 0,28809 + 0,4851 + 0,19404 + 0,28518 + 0,19012 = 1,92668

8. Теперь найдем вероятность того, что сигнал был АВ, если он принят без искажений:
P(A, B | D) = P(D | A, B) * P(A) * P(B) / P(D)

Подставляем значения:
P(A, B | D) = 0,9603 * 0,5 * 0,3 / 1,92668

P(A, B | D) = 0,144045 / 1,92668 ≈ 0,0747

9. Таким образом, вероятность того, что подавало сигнал АВ, равна примерно