Решение:
1. Определим общее количество клиентов и фирм. У нас есть 6 клиентов и 5 фирм.
2. Найдем общее количество способов, которыми 6 клиентов могут обратиться в 5 фирм. Каждый клиент может выбрать одну из 5 фирм, поэтому общее количество способов будет равно 5 в степени 6:
N = 5^6 = 15625.
3. Теперь найдем количество способов, при которых хотя бы в одну фирму никто не обратится. Для этого проще использовать метод дополнения: сначала найдем количество способов, при которых все фирмы получают хотя бы одного клиента, а затем вычтем это количество из общего числа способов.
4. Для того чтобы найти количество способов, при которых все 5 фирм получают хотя бы одного клиента, воспользуемся принципом включения-исключения.
5. Обозначим A_i как событие, что i-я фирма не получает клиентов. Мы хотим найти P(A_1 U A_2 U A_3 U A_4 U A_5), то есть вероятность того, что хотя бы одна фирма не получает клиентов.
6. По принципу включения-исключения:
P(A_1 U A_2 U A_3 U A_4 U A_5) = Σ P(A_i) — Σ P(A_i ∩ A_j) + Σ P(A_i ∩ A_j ∩ A_k) — … + (-1)^5 P(A_1 ∩ A_2 ∩ A_3 ∩ A_4 ∩ A_5).
7. Сначала найдем P(A_i). Вероятность того, что конкретная фирма не получает клиентов, равна (4/5)^6, так как каждый клиент может выбрать одну из 4 оставшихся фирм.
8. Количество таких событий (где одна конкретная фирма не получает клиентов) равно 5, так как есть 5 фирм. Таким образом:
P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = P(A_5) = (4/5)^6.
9. Теперь найдем P(A_i ∩ A_j), то есть вероятность того, что две конкретные фирмы не получают клиентов. В этом случае клиенты могут выбрать только 3 фирмы, поэтому:
P(A_i ∩ A_j) = (3/5)^6, и таких пар фирм 10 (C(5, 2) = 10).
10. Аналогично, для трех фирм:
P(A_i ∩ A_j ∩ A_k) = (2/5)^6, и таких троек 10 (C(5, 3) = 10).
11. Для четырех фирм:
P(A_i ∩ A_j ∩ A_k ∩ A_l) = (1/5)^6, и таких четверок 5 (C(5, 4) = 5).
12. Наконец, для всех пяти фирм:
P(A_1 ∩ A_2 ∩ A_3 ∩ A_4 ∩ A_5) = 0, так как не может быть ситуации, когда все фирмы не получают клиентов.
13. Подставим все эти значения в формулу включения-исключения:
P(A_1 U A_2 U A_3 U A_4 U A_5) = 5*(4/5)^6 — 10*(3/5)^6 + 10*(2/5)^6 — 5*(1/5)^6.
14. Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:
(4/5)^6 = 0.262144,
(3/5)^6 = 0.729,
(2/5)^6 = 0.064,
(1/5)^6 = 0.00001.
15. Подставим эти значения:
P(A_1 U A_2 U A_3 U A_4 U A_5) = 5*0.262144 — 10*0.729 + 10*0.064 — 5*0.00001.
16. Вычислим:
= 1.31072 — 7.29 + 0.64 — 0.00005,
= 1.31072 — 7.29 + 0.64 — 0.00005 = -5.33933.
17. Теперь найдем вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится:
P(хотя бы одна фирма без клиентов) = 1 — P(все фирмы с клиентами) = 1