Решение:
1. **Найдем параметр C.** Для этого воспользуемся свойством функции распределения: F(x) должна стремиться к 1 при x, стремящемся к бесконечности.
Функция распределения задана как:
F(x) = 0, при x ≤ 0
F(x) = 2x + x^2 * C, при 0 < x < 1
F(x) = 1, при x ≥ 1
Чтобы найти C, подставим x = 1 в выражение для F(x):
F(1) = 2*1 + 1^2 * C = 2 + C.
Поскольку F(1) должно равняться 1, получаем уравнение:
2 + C = 1.
Решим его:
C = 1 - 2 = -1.
2. **Теперь подставим найденное значение C в функцию распределения:**
F(x) = 0, при x ≤ 0
F(x) = 2x - x^2, при 0 < x < 1
F(x) = 1, при x ≥ 1.
3. **Теперь найдем плотность вероятности f(x), которая является производной функции распределения F(x):**
f(x) = dF(x)/dx.
Для 0 < x < 1:
f(x) = d(2x - x^2)/dx = 2 - 2x.
Таким образом, плотность вероятности:
f(x) = 0, при x ≤ 0
f(x) = 2 - 2x, при 0 < x < 1
f(x) = 0, при x ≥ 1.
4. **Теперь вычислим математическое ожидание E(X):**
E(X) = ∫ x * f(x) dx от 0 до 1.
Подставим f(x):
E(X) = ∫ (x * (2 - 2x)) dx от 0 до 1.
Раскроем скобки:
E(X) = ∫ (2x - 2x^2) dx от 0 до 1.
5. **Вычислим интеграл:**
E(X) = [x^2 - (2/3)x^3] от 0 до 1.
Подставим пределы:
E(X) = (1^2 - (2/3)*1^3) - (0 - 0) = 1 - (2/3) = 1/3.
6. **Окончательный ответ:**
Математическое ожидание E(X) = 1/3 ≈ 0.333 (с точностью до 3 знаков после запятой).
Ответ: 0.333.