Решение:
1. Обозначим количество электроламп как N = 1100. Вероятность перегоревшей лампы равна p = 0,55. Вероятность того, что лампа не перегорит, будет q = 1 — p = 0,45.
2. Мы хотим найти вероятность того, что не менее половины ламп перегорит. Половина от 1100 ламп составляет 550. То есть, мы ищем вероятность того, что количество перегоревших ламп X будет больше или равно 550: P(X >= 550).
3. Поскольку количество перегоревших ламп X подчиняется биномиальному распределению B(N, p), где N = 1100 и p = 0,55, мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения, так как N велико.
4. Для нормального приближения мы вычислим математическое ожидание (E) и стандартное отклонение (σ) для биномиального распределения:
— E(X) = N * p = 1100 * 0,55 = 605.
— σ(X) = sqrt(N * p * q) = sqrt(1100 * 0,55 * 0,45) ≈ sqrt(272.25) ≈ 16.5.
5. Теперь мы можем стандартизировать значение 550, чтобы использовать таблицы нормального распределения:
Z = (X — E) / σ = (550 — 605) / 16.5 ≈ -3.33.
6. Теперь мы ищем P(Z >= -3.33). По таблице стандартного нормального распределения, P(Z < -3.33) очень маленькая (приблизительно 0.0004), следовательно, P(Z >= -3.33) ≈ 1 — 0.0004 = 0.9996.
7. Таким образом, вероятность того, что в течение года не менее половины ламп придется заменить новыми, составляет примерно 0.9996 или 99.96%.
8. Теперь найдем наивероятнейшее число перегоревших электроламп. Это значение соответствует математическому ожиданию E(X), которое мы уже вычислили:
— Наивероятнейшее число перегоревших электроламп равно 605.
Ответ: Вероятность того, что в течение года не менее половины ламп придется заменить новыми, составляет примерно 0.9996 (или 99.96%). Наивероятнейшее число перегоревших электроламп равно 605.