Решение:
1. Начнем с уравнения: 4x^2 — 7y^2 + 54x + 8y + 10 = 0.
2. Упорядочим уравнение, выделив квадраты и линейные члены. Для этого сгруппируем члены по x и y:
4x^2 + 54x — 7y^2 + 8y + 10 = 0.
3. Теперь выделим полный квадрат для x. Для этого рассмотрим 4x^2 + 54x:
4(x^2 + (54/4)x) = 4(x^2 + 13.5x).
4. Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (13.5/2)^2 = 91.125:
4(x^2 + 13.5x + 91.125 — 91.125) = 4((x + 6.75)^2 — 91.125).
5. Таким образом, у нас получится:
4((x + 6.75)^2 — 91.125) — 7y^2 + 8y + 10 = 0,
что упрощается до:
4(x + 6.75)^2 — 364.5 — 7y^2 + 8y + 10 = 0.
6. Теперь упростим уравнение:
4(x + 6.75)^2 — 7y^2 + 8y — 354.5 = 0.
7. Далее выделим полный квадрат для y. Рассмотрим -7y^2 + 8y:
-7(y^2 — (8/7)y) = -7(y^2 — (8/7)y + (4/7)^2 — (4/7)^2) = -7((y — 4/7)^2 — (16/49)).
8. Таким образом, у нас получится:
-7((y — 4/7)^2 — (16/49)) = -7(y — 4/7)^2 + 16/7.
9. Подставим это в уравнение:
4(x + 6.75)^2 — 7(y — 4/7)^2 + 16/7 — 354.5 = 0.
10. Упростим уравнение:
4(x + 6.75)^2 — 7(y — 4/7)^2 — 354.5 + 16/7 = 0.
11. Приведем все к общему знаменателю и упростим:
4(x + 6.75)^2 — 7(y — 4/7)^2 — (2481.5/7) + (16/7) = 0,
что дает:
4(x + 6.75)^2 — 7(y — 4/7)^2 — (2465.5/7) = 0.
12. Теперь мы можем выразить уравнение в стандартной форме. Это уравнение представляет собой гиперболу.
Таким образом, мы привели уравнение к стандартному виду, и теперь можем анализировать его свойства.