Решение:
1. Запишем данное дифференциальное уравнение: x*y’ — y = x*tg(y/x).
2. Перепишем уравнение в более удобной форме. Разделим обе стороны на x:
y’ — (y/x) = tg(y/x).
3. Обозначим z = y/x, тогда y = x*z и y’ = z + x*z’, где z’ — производная z по x. Подставим это в уравнение:
z + x*z’ — z = tg(z) => x*z’ = tg(z).
4. Теперь разделим переменные:
dz/tg(z) = dx/x.
5. Интегрируем обе стороны:
∫(1/tg(z)) dz = ∫(1/x) dx.
6. Левую часть можно записать как ∫(cot(z)) dz, а правую как ln|x| + C:
ln|sin(z)| = ln|x| + C.
7. Упростим уравнение:
sin(z) = K*x, где K = e^C — произвольная константа.
8. Подставим обратно z = y/x:
sin(y/x) = K*x.
9. Теперь применим начальное условие y(1) = pi/2:
sin(pi/2) = K*1 => 1 = K.
10. Таким образом, у нас есть уравнение:
sin(y/x) = x.
11. Теперь выразим y:
y/x = arcsin(x) => y = x*arcsin(x).
12. Это и есть частное решение данного дифференциального уравнения.
Ответ: y = x*arcsin(x).